Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

1. Định lí về nhị tiếp tuyến giảm nhau

Cho mặt đường tròn(left(O ight))và một điểm(A)nằm ngoài đường tròn.(AB,AC)là những tiếp con đường kẻ từ(A)đến(left(O ight))((B,C)là những tiếp điểm).

Bạn đang xem: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Khi đó, ta gọi góc(BAC)là góc tạo do 2 tiếp tuyến(AB,AC); góc tạo do 2 chào bán kính(OB,OC)là góc(BOC).

Do(AB,AC)là các tiếp con đường của đường tròn(left(O ight))(Rightarrow ABperp OB;ACperp OC).

Xét tam giác(ABO)và tam giác(ACO)có:

(widehatABO=widehatACO=90^0);

(AO)chung;

(OB=OC)

(RightarrowDelta ABO=Delta ACO)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

(Rightarrowleft{eginmatrixAB=AC\widehatBAO=widehatCAO\widehatBOA=widehatCOAendmatrix ight.)(các cạnh với góc tương ứng).

Các tác dụng trên không phụ thuộc vào vào cách chọn mặt đường tròn và vị trí của điểm(A).

Như vậy, ta có công dụng được phát biểu trong định lí sau:

Định lí: nếu như hai tiếp con đường của một mặt đường tròn cắt nhau trên một điểm thì

Điểm đó giải pháp đều nhị tiếp điểm.Tia kẻ từ điểm đó đi qua trung tâm là tia phân giác của góc tạo vì hai tiếp tuyến.Tia kẻ từ trọng điểm đi qua đặc điểm này là tia phân giác của góc tạo vì hai bán kính đi qua những tiếp điểm.

Ví dụ: Cho con đường tròn(left(O ight)), điểm(A)nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến(AB,AC)với đường tròn ((B,C)là các tiếp điểm).

a) hội chứng minh(OAperp BC).

b) Tính những cạnh của tam giác(ABC)biết(OA=4;OB=2).

Lời giải:

a) Do(AB,AC)là nhì tiếp đường của con đường tròn(left(O ight))

(Rightarrow AB=AC)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà(OB=OC)

(Rightarrow OA)là con đường trung trực của đoạn thẳng(BC)

(Rightarrow OAperp BC).

b) Gọi(BCcap OA=H)(Rightarrow BCperp OA)tại (H).

Do(AB)là tiếp con đường của con đường tròn(left(O ight))nên(ABperp OB).

Xem thêm: Hướng Dẫn Tra Kết Quả Thi Thpt 2020, Hướng Dẫn Tra Cứu Điểm Thi Tốt Nghiệp Thpt 2021

Áp dụng định lí Pytago ta có:

(AO^2=OB^2+AB^2Rightarrow AB=AC=sqrtOA^2-OB^2=sqrt4^2-2^2=2sqrt3).

Mặt khác, theo câu a, ta có:(Delta ABC)cân tại(A),(AOperp BC)tại(H)

(Rightarrow AH)là trung tuyến(Delta ABC)(Rightarrow H)là trung điểm(BC).

Áp dụng hệ thức thân cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

(dfrac1BH^2=dfrac1AB^2+dfrac1OB^2Rightarrowdfrac1BH^2=dfrac13Rightarrow BH=sqrt3)

(Rightarrow BC=2.BH=2sqrt3).

Vậy(AB=AC=BC=2sqrt3).

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là mặt đường tròn tiếp xúc đối với cả ba cạnh của tam giác. Khi đó, tam giác được hotline là tam giác ngoại tiếp đường tròn.Tâm mặt đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm bađường phân giác trong của tam giác.

Cụ thể: đến tam giác(ABC). Gọi(I)là giao điểm 3 mặt đường phân giác trong của tam giác.(D,E,F)lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ(I)đến những cạnh(BC,AC,AB).

Dễ dàng minh chứng được(ID=IE=IF=r). Khi đó, con đường tròn(left(I;r ight))là con đường tròn nội tiếp tam giác(ABC), còn tam giác(ABC)ngoại tiếp con đường tròn(I).

Chú ý: mỗi tam giác chỉ bao gồm duy tuyệt nhất một con đường tròn nội tiếp.

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn bàng tiếp tam giác là mặt đường tròn tiếp xúc với mộtcạnh tam giác cùng tiếp xúc với những phần kéo dãn của nhị cạnh còn lại.Tâm của con đường tròn bàng tiếp là giao điểm một đường phân giác trong cùng một con đường phân giác ngoài (hoặc giao điểm của hai mặt đường phân giác ngoài) của tam giác.

Cụ thể: mang đến tam giác(ABC). Gọi(K)là giao điểm hai đường phân giác ngoại trừ của cácgóc(B,C). Gọi(D,E,F)lần lượt là chân mặt đường vuông góc kẻ từ(K)đến các cạnh(BC,AC,AB).

Dễ dàng chứng tỏ được(KD=KE=KF=r"), đồng thời(KA)là phân giác của góc(BAC). Khi đó,(left(K;r" ight))là con đường tròn bàng tiếp của(Delta ABC).

Trong hình trên, mặt đường tròn(left(K;r" ight))là con đường tròn bàng tiếp vào góc(A). Mỗi góc của tam giác(ABC)đều bao gồm một mặt đường tròn bàng tiếp.